Как сделать треугольник паскаля в excel?

Основная формула

Строки треугольника обычно нумеруются, начиная со строки n = 0 в верхней части. Записи в каждой строке целочисленные и нумеруются слева, начиная с k = 0, обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строчках. Построить фигуру можно следующим образом:

• В центре верхней части листа ставится цифра «1».
• В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма).
• В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом «1». Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух цифр над ним.

Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1.

С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля (n k) = (n — 1 k-1) + (n — 1 k), для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно. Трёхмерная версия называется пирамидой или тетраэдром, а общие — симплексами.

История открытия

Паскаль ввёл в действие многие ранее недостаточно проверенные способы использования чисел треугольника, и он подробно описал их в, пожалуй, самом раннем из известных математических трактатов, специально посвящённых этому вопросу, в труде об арифметике Traité du triangle (1665). За столетия до того обсуждение чисел возникло в контексте индийских исследований комбинаторики и биномиальных чисел, а у греков были работы по «фигурным числам».

Из более поздних источников видно, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации были известны ещё до II века до нашей эры по работам Пингала. К сожалению, бо́льшая часть трудов была утеряна.

Варахамихира около 505 года дал чёткое описание аддитивной формулы, а более подробное объяснение того же правила было дано Халаюдхой (около 975 года).

Он также объяснил неясные ссылки на Меру-прастаара, лестницы у горы Меру, дав первое сохранившееся определение расположению этих чисел, представленных в виде треугольника.

Примерно в 850 году джайнский математик Махавира вывел другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентное современной формуле. В 1068 году Бхаттотпала во время своей исследовательской деятельности вычислил четыре столбца первых шестнадцати строк. Он был первым признанным математиком, который уравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел.

Примерно в то же время персидский учёный Аль-Караджи (953–1029) написал книгу (на данный момент утраченную), в которой содержалось первое описание треугольника Паскаля. Позднее работа была переписана персидским поэтом, астрономом и математиком Омаром Хайямом (1048–1131). Таким образом, в Иране фигура упоминается как треугольник Хайяма.

Известно несколько теорем, связанных с этой темой, включая биномы. Хайям использовал метод нахождения n-x корней, основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на одноимённых коэффициентах.

Треугольник был известен в Китае в начале XI века благодаря работе китайского математика Цзя Сианя (1010–1070).

В XIII веке Ян Хуэй (1238–1298) представил этот способ, и поэтому в Китае он до сих пор называется треугольником Ян Хуэя.

На западе биномиальные коэффициенты были рассчитаны Жерсонидом в начале XIV века, он использовал мультипликативную формулу. Петрус Апиан (1495–1552) опубликовал полный треугольник на обложке своей книги примерно в 1527 году. Это была первая печатная версия фигуры в Европе. Майкл Стифель представил эту тему как таблицу фигурных тел в 1544 году.

В Италии паскалевский треугольник зовут другим именем, в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577). Вообще, современное имя фигура приобрела благодаря Пьеру Раймонду до Монтрмору (1708), который назвал треугольник «Таблица Паскаля для сочетаний» (дословно: Таблица мистера Паскаля для комбинаций) и Абрахамом Муавром (1730).

Отличительные черты

Треугольник Паскаля и его свойства — тема довольно обширная. Главное, в нём содержится множество моделей чисел. Обзор следует начать с простого — ряды:

• Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы строки, предшествующей ей. Например, строка 0 (самая верхняя) имеет значение 1, строчка 1–2, а 2 имеет значение 4 и т. д. Это потому что каждый элемент в строке производит два элемента в следующем ряду: один слева и один справа. Сумма элементов строки n равна 2 n.
• Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов можно связать с основанием натурального логарифма.
• В треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилаканты можно найти число Пи.
• Значение строки, если каждая запись считается десятичным знаком (имеется в виду, что числа больше 9 переносятся соответственно), является степенью 11 (11n для строки n). Таким образом, в строке 2 ⟨1, 2, 1⟩ становится 112, равно как ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в строке пять становится (после переноса) 161, 051, что составляет 115. Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе.
• Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича.
• Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n. Например, 1 2 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70.
• В любой строчке n, где n является чётным, средний член за вычетом члена в двух точках слева равен каталонскому числу (n / 2 + 1).
• В строчке р, где р представляет собой простое число, все члены в этой строке, за исключением 1s, являются кратными р.
• Чётность. Для измерения нечётных терминов в строке n необходимо преобразовать n в двоичную форму. Пусть x будет числом 1s в двоичном представлении. Тогда количество нечётных членов будет 2 х. Эти числа являются значениями в последовательности Гулда.
• Каждая запись в строке 2 n-1, n ≥ 0, является нечётной.
• Полярность. Когда элементы строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются вместе последовательно, каждая строка со средним числом, означающим строки с нечётным числом целых чисел, даёт 0 в качестве результата.

Диагонали треугольника содержат фигурные числа симплексов. Например:

• Идущие вдоль левого и правого краёв диагонали содержат только 1.
• Рядом с рёбрами диагонали содержат натуральные числа по порядку.
• Двигаясь внутрь, следующая пара содержит треугольные числа по порядку.
• Следующая пара — тетраэдрические, а следующая пара — числа пятиугольника.

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Общие свойства

Образец, полученный путём раскраски только нечётных чисел, очень похож на фрактал, называемый треугольником Серпинского. Это сходство становится всё более точным, так как рассматривается больше строк в пределе, когда число рядов приближается к бесконечности, получающийся в результате шаблон представляет собой фигуру, предполагающую фиксированный периметр. В целом числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, являются ли они кратными 3, 4 и т. д.

В треугольной части сетки количество кратчайших путей от заданного до верхнего угла треугольника является соответствующей записью в паскалевском треугольнике. На треугольной игровой доске Плинко это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов. Если строки треугольника выровнены по левому краю, диагональные полосы суммируются с числами Фибоначчи.

Благодаря простому построению факториалами можно дать очень простое представление фигуры Паскаля в терминах экспоненциальной матрицы: треугольник — это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4… на её субдиагонали, а все другие точки — 0.

Количество элементов симплексов фигуры можно использовать в качестве справочной таблицы для количества элементов (рёбра и углы) в многогранниках (треугольник, тетраэдр, квадрат и куб).

Шаблон, созданный элементарным клеточным автоматом с использованием правила 60, является в точности паскалевским треугольником с биномиальными коэффициентами, приведёнными по модулю 2.

Правило 102 также создаёт этот шаблон, когда завершающие нули опущены. Правило 90 создаёт тот же шаблон, но с пустой ячейкой, разделяющей каждую запись в строках.

Фигура может быть расширена до отрицательных номеров строк.

Секреты треугольника

Конечно, сейчас большинство расчётов для решения задач не в классе можно сделать с помощью онлайн-калькулятора. Как пользоваться треугольником Паскаля и для чего он нужен, обычно рассказывают в школьном курсе математики. Однако его применение может быть гораздо шире, чем принято думать.

Начать следует со скрытых последовательностей. Первые два столбца фигуры не слишком интересны — это только цифры и натуральные числа. Следующий столбец — треугольные числа. Можно думать о них, как о серии точек, необходимых для создания групп треугольников разных размеров.

Точно так же четвёртый столбец — это тетраэдрические числа или треугольные пирамидальные. Как следует из их названия, они представляют собой раскладку точек, необходимых для создания пирамид с треугольными основаниями.

Столбцы строят таким образом, чтобы описывать «симплексы», которые являются просто экстраполяциями идеи тетраэдра в произвольные измерения. Следующий столбец — это 5-симплексные числа, затем 6-симплексные числа и так далее.

Полномочия двойки

Если суммировать каждую строку, получатся степени основания 2 начиная с 2⁰ = 1. Если изобразить это в таблице, то получится следующее:

1
1	+	1	=	2
1	+	2	+	1	=	4
1	+	3	+	3	+	1	=	8
1	+	4	+	6	+	4	+	1	=	16
1	+	5	+	10	+	10	+	5	+	1	=	32
1	+	6	+	15	+	20	+	15	+	6	+	1	=	64

Суммирование строк показывает силы базы 2.

Силы одиннадцати

Треугольник также показывает силы основания 11. Всё, что нужно сделать, это сложить числа в каждом ряду вместе. Как показывает исследовательский опыт, этого достаточно только для первых пяти строк. Сложности начинаются, когда записи состоят из двузначных чисел. Например:

1	=	11°
11	=	11¹
121	=	11²
1331	=	11³

Оказывается, всё, что нужно сделать — перенести десятки на одно число слева.

Совершенные квадраты

Если утверждать, что 4² — это 6 + 10 = 16, то можно найти идеальные квадраты натуральных чисел в столбце 2, суммируя число справа с числом ниже. Например:

• 2² → 1 + 3 = 4
• 3² → 3 + 6
• 4² → 6 + 10 = 16 и так далее.

Комбинаторные варианты

Чтобы раскрыть скрытую последовательность Фибоначчи, которая на первый взгляд может отсутствовать, нужно суммировать диагонали лево-выровненного паскалевского треугольника.

Первые 7 чисел в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… найдены.

Используя исходную ориентацию, следует заштриховать все нечётные числа, и получится изображение, похожее на знаменитый фрактальный треугольник Серпинского.

Возможно, самое интересное соотношение, найденное в треугольнике — это то, как можно использовать его для поиска комбинаторных чисел, поскольку его первые шесть строк написаны с помощью комбинаторной записи. Поэтому, если нужно рассчитать 4, стоит выбрать 2, затем максимально внимательно посмотреть на пятую строку, третью запись (поскольку счёт с нуля), и будет найден ответ.

Действия с биномами

Например, есть бином (x + y), и стоит задача повысить его до степени, такой как 2 или 3. Обычно нужно пройти долгий процесс умножения (x + y)² = (x + y)(x + y) и т. д. Если воспользоваться треугольником, решение будет найдено гораздо быстрее. К примеру, нужно расширить (x + y)³.

Поскольку следует повышать (x + y) до третьей степени, то необходимо использовать значения в четвёртом ряду фигуры Паскаля (в качестве коэффициентов расширения). Затем заполнить значения x и y. Получится следующее: 1 x³ + 3 x²y + 3 xy² + 1 y³.

Степень каждого члена соответствует степени, до которой возводится (x + y).

В виде более удобной формулы этот процесс представлен в теореме бинома. Как известно, всё лучше разбирать на примерах. Итак — (2x – 3)³. Пусть x будет первым слагаемым, а y — вторым.

Лучше упростить условия с показателями от нуля до единицы.

Как известно, комбинаторные числа взяты из треугольника, поэтому можно просто найти четвёртую строку и подставить в значения 1, 3, 3, 1 соответственно, используя соответствующие цифры Паскаля 1, 3, 3, 1.

Последнее — необходимо завершить умножение и упрощение, в итоге должно получиться: 8 x³ — 36 x² + 54x — 27. С помощью этой теоремы можно расширить любой бином до любой степени, не тратя время на умножение.

Биномиальное распределение описывает распределение вероятностей на основе экспериментов, которые можно разделить на группы с двумя возможными исходами. Самый классический пример этого — бросание монеты. Например, есть задача выбросить «решку» — успех с вероятностью p. Тогда выпадение «орла» является случаем «неудачи» и имеет вероятность дополнения 1 – p.

Если спроектировать этот эксперимент с тремя испытаниями, с условием, что нужно узнать вероятность выпадения «решки», можно использовать функцию вероятности массы (pmf) для биномиального распределения, где n — это количество испытаний, а k — это число успехов.

Предполагаемая вероятность удачи — 0,5 (р = 0,5). Самое время обратиться к треугольнику, используя комбинаторные числа: 1, 3, 3, 1. Вероятность получить ноль или три «решки» составляет 12,5%, в то время как переворот монеты один или два раза на сторону «орла» — 37,5%.

Вот так математика может применяться в жизни.

Источник: https://nauka.club/matematika/treugolnik-paskalya.html

Треугольник Паскаля

Сегодня мы рассмотрим не сложную, но интересную задачу — построение «Треугольника Паскаля». Вы из курса математики знаете такие формулы сокращенного умножения:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Теперь давайте посмотрим на картинку, изображающую треугольник Паскаля:

какая связь между цифрами в каждой из строк треугольника и приведенными выше формулами? Догадались? Проверяем!

Правильный ответ — в каждой строке треугольника значения коэффициентов для возведения суммы в соответствующую степень.

Теперь установите закономерность формирования элементов каждой строки. Для этого внимательно посмотрите на значения той строки, которая выше.

Проверьте свой вывод по картинке:

Теперь давайте сформулируем вывод на языке информатики. 

Пусть каждый элемент треугольника обозначается как a[ i , j ], где  a — сам элемент,  i — номер строки, в которой он находится, а j — порядковый номер этого элемента в строке. Например, обведенные в красные кружки элементы — это a[ 3 , 2 ] = 2 и a[ 7 , 3 ] = 15.

• Мы не можем использовать строку с номером 0, поэтому наша нумерация строк будет на 1 больше степени n на приведенном рисунке.
• Тогда мы можем сделать вывод, что ПОЧТИ каждый элемент треугольника — это сумма элементов строкой выше, один из которых идет под тем же номером, что и искомый элемент, а у второго номер на 1 меньше.
• Слово ПОЧТИ в утверждении выше указывает на то, что первый и последний элементы в каждой строке равны 1, вне зависимости от номера строки.
• Из всего вышесказанного вытекает задание:
• Написать программу, которая из входного файла будет считывать n — степень, до которой строится треугольник, а файл вывода будет содержать треугольник Паскаля из n + 1  строк — мы выше говорили, что 0 степень есть, а 0 строки нет.
• Например, в файле ввода число 8.
• Тогда файл вывода должен выглядеть так:

Можете проверить результат для 8 степени, сверив с рисунком выше.

Обратите внимание, для облегчения задачи я не прошу вас строить равнобедренный треугольник. Пусть будет прямоугольный. Но, если сделаете как на рисунке с объяснением понятия треугольника Паскаля — считайте, плюс два балла к оценке у вас есть.

И еще одна подсказка.

На самом деле я заполняю не треугольник, а квадрат. Просто после последней в строке единицы у меня в программе идут нули, которые я не вывожу на экран.

Если самостоятельно справиться — не судьба, смотрим решение задачи по ссылке.

Но давайте сначала самостоятельно, да?! Удачи!

Источник: http://informatika117pas.blogspot.com/2014/12/blog-post.html

Треугольник Паскаля

Справочник по математике

Алгебра

Формулы сокращенного умножения

      Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности» в следующем виде (Таблица П.):

      Таблица П. – Натуральные степени бинома   x + y

№	Степень	Разложение в сумму одночленов
	(x + y)0 =	1
1	(x + y)1 =	1x + 1y
2	(x + y)2 =	1×2 + 2xy + 1y2
3	(x + y)3 =	1×3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
4	(x + y)4 =	1×4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
5	(x + y)5 =	1×5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
6	(x + y)6 =	1×6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 ++ 15x2y4 + 6xy5 + 1y6
…	…	…

      Теперь, воспользовавшись третьим столбцом Таблицы П., составим следующую Таблицу — Треугольник Паскаля:

Степень 0: (x + y)0 = Разложение в сумму одночленов: 1

Степень 1: (x + y)1 = Разложение в сумму одночленов: 1x + 1y

Степень 2: (x + y)2 = Разложение в сумму одночленов: 1×2 + 2xy + 1y2

Степень 3: (x + y)3 = Разложение в сумму одночленов: 1×3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3

Степень 4: (x + y)4 = Разложение в сумму одночленов: 1×4 + 4x3y + 6x2y2 ++ 4xy3 + 1y4

Степень 5: (x + y)5 = Разложение в сумму одночленов: 1×5 + 5x4y + 10x3y2 ++ 10x2y3 + 5xy4 + 1y5

Степень 6: (x + y)6 = Разложение в сумму одночленов: 1×6 + 6x5y + 15x4y2 ++ 20x3y3 ++ 15x2y4 ++ 6xy5 + 1y6

…

      Теперь, записыая только коэффициенты разложений степеней бинома в сумму одночленов, получим следующую Таблицу — Треугольник Паскаля:

      Таблица — Треугольник Паскаля

№	Треугольник Паскаля
	1
1	1     1
2	1     2     1
3	1     3     3     1
4	1     4     6     4     1
5	1     5     10     10     5     1
6	1     6     15     20     15     6     1
…	…

      На всякий случай напомним, что Блез Паскаль – это знаменитый физик и математик, живший во Франции более трех веков назад.

      В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует строке с тем же номером в Таблице П. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы П., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома   x + y .

1.       Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами   0   и   1,   рассмотрим строки с номерами   2   и далее.
2.       Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером   2,   заполнять его строки, является следующее свойство:
3.       Каждая из строк, начиная со строки с номером   2,   во-первых, начинается и заканчивается числом   1,   а, во-вторых, между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Действительно, число   2,   стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел   1   плюс   1,   стоящих в первой строке. Точно так же, числа   3   и   3,   стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел   1   плюс   2   и сумме чисел   2   плюс   1,   стоящих во второй строке.

      Также и для других строк.

      Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома   x + y .

•       Пример. Написать разложение вида:
• (x + y)7 .
•       Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером   6   и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером   7:  

6	1    6    15    20    15    6    1
7	1    7    21    35    35    21    7    1

      Следовательно,

(x + y)7 = x7 + 7x6y ++ 21x5y2 + 35x4y2 ++ 35x3y4 ++ 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/paskal.htm

Треугольник Паскаля

• Главная
• Калькуляторы
• Математика
• Числа
• Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

№	Треугольник Паскаля
	1
1	1     1
2	1     2     1
3	1     3     3     1
4	1     4     6     4     1
5	1     5     10     10     5     1
6	1     6     15     20     15     6     1
…	…

Треугольник Паскаля можно получить из таблицы натуральных степеней бинома x + y

Натуральные степени бинома x + y

№	Степень	Разложение в сумму одночленов
	(x + y)0 =	1
1	(x + y)1 =	1x + 1y
2	(x + y)2 =	1×2 + 2xy + 1y2
3	(x + y)3 =	1×3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
4	(x + y)4 =	1×4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
5	(x + y)5 =	1×5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
6	(x + y)6 =	1×6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6
…	…	…

• Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1.
• Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
• Каждое число в треугольнике Паскаля равно Cnk, где n — номер строки, k — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
• Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
• Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
• Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи.

• Треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольника.
• Тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра.
• Последовательность f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 при n>2 называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:

6	1     6     15     20     15     6     1
7	1     7     21     35     35     21     7     1

Следовательно, (x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

ЧислаКалькулятор Расчёт Математика Формулы

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• Второй закон термодинамикиНевозможно создать круговой процесс, результатом которого станет исключительно превращение теплоты, которое получено от нагревателя, в работу.
• Сименс — единица измерения электропроводности (проводимости) в системе СИ. Она эквивалентна ранее использовавшейся единице mho
• Метр – длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды
• Бесплатный генератор паролей онлайнСоздать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.
• Я́года — маленький сочный или мясистый плод, обычно кустарниковых или травянистых растений, который при употреблении в пищу не требуется откусывать или разрезать.
• Закон всемирного тяготенияМежду любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки

Источник: https://calcsbox.com/post/treugolnik-paskala.html

Документ Microsoft Office Word

• Министерство
  образования и науки Российской Федерации.
• Государственное
  образовательное учреждение высшего
  профессионального образования
• «Мурманский
  Государственный Гуманитарный Университет»
• ГОУ
  ВПО МГГУ
• Факультет
  истории и социальных наук
• Доклад
  по дисциплине «Высшая математика»
• На
  тему: «треугольник Паскаля»
• Выполнила
  студентка 1 курса
• Специальность:
  «Социология»

Нижник
Т.В.

Проверил
: Доц. Л.Е. Туканова

1. Мурманск
2. 2013
3. Треугольники
   Паскаля

«Треугольник
Паскаля так прост, что выписать его
сможет даже десятилетний ребенок. В то
же время он таит в себе неисчерпаемые
сокровища и связывает воедино различные
аспекты математики, не имеющие на первый
взгляд между собой ничего общего. Столь
необычные свойства позволяют считать
треугольник Паскаля одной из наиболее
изящных схем во всей математике».

Мартин Гарднер

«Математические
новеллы»

Треугольник
Паскаля —
бесконечная таблица биномиальных
коэффициентов,
имеющая треугольную форму. В этом
треугольнике на вершине и по бокам
стоят единицы.
Каждое число равно сумме двух расположенных
над ним чисел. Строки треугольника
симметричны относительно вертикальной
оси. Назван в честь Блеза
Паскаля.
Имеет применение в теории
вероятностей.

Блез
Паска́ль (1623-1662) — французский математик, физик,
литератор и философ.

Классик французской литературы, один
из основателей математического
анализа, теории
вероятностей и проективной
геометрии,
создатель первых образцов счётной
техники, автор основного
закона гидростатики.

Самой
известной математической работой Блеза
Паскаля является трактат об «арифметическом
треугольнике», образованном
биномиальными коэффициентами (треугольник
Паскаля), который имеет применение в
теории вероятностей и обладает
удивительными и занимательными
свойствами.

Предположим,
что вы входите в город как показано на
схеме синей стрелкой, и можете двигаться
только вперед, точнее, все время выбирая,
вперед налево, или вперед направо.

Это
один из вариантов построения треугольника,
предложенный Гуго Штейнгаузом в его
классическом «Математическом
калейдоскопе».

На
вершине треугольника стоит 1. Треугольник
можно продолжать неограниченно. Он
обладает симметрией относительно
вертикальной оси, проходящей через его
вершину.

Вдоль диагоналей (насколько у
треугольника могут быть диагонали, но
не будем придираться, такая терминология
встречается в публикациях), параллельных
сторонам треугольника (на рисунке
отмечены зелеными линиями) выстроены
треугольные числа и их обобщения на
случай пространств всех
размерностей.

  Треугольные
числа в самом обычном и привычном нам
виде показывают, сколько касающихся
кружков можно расположить в виде
треугольника — как классический пример
начальная расстановка шаров в бильярде.
К одной монетке можно прислонить еще
две — итого три — к двум можно приладить
еще три — итого шесть.

Продолжая наращивать
ряды с сохранением формы треугольника
получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66…, что
и показывает вторая зеленая линия.

Этот
замечательный ряд, каждый член которого
равен сумме натурального ряда чисел
(55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество
знакомцев, хорошо известных любителям
математики: 6 и 28 — совершенные числа, 36
— квадратное число, 8 и 21 — числа
Фибоначчи.

  Следующая
зеленая линия покажет нам тетраэдральные
числа — один шар мы можем положить на
три — итого четыре, под три подложим
шесть (напрягитесь и представьте!) —
итого десять, и так далее. А следующая
зеленая линия (1, 5, 15, 35,…) продемонстрирует
попытку выкладывания гипертетраэдра
в четырехмерном пространстве — один шар
касается четырех, а те, в свою очередь,
десяти.

.. В нашем мире такое невозможно,
только в четырехмерном, виртуальном. И
тем более пятимерный тетраэдр, о котором
свидетельствует следующая зеленая
линия, он может существовать только в
рассуждениях топологов.

Свойства
треугольника

 Чтобы
найти сумму чисел, стоящих на любой
диагонали от начала до интересующего
нас места, достаточно взглянуть на
число, расположенное снизу и слева от
последнего слагаемого. (слева для правой
диагонали, для левой диагонали будет
справа, а вообще — ближе к середине
треугольника). Пусть, например, мы хотим
вычислить сумму чисел натурального
ряда от 1 до 9.

«Спустившись» по
диагонали до числа 9, мы увидим слева
снизу от него число 45. Оно то и дает
искомую сумму. Чему равна сумма первых
восьми треугольных чисел? Отыскиваем
восьмое число на второй диагонали и
сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но,
кстати, 120 — тетраэдральное число.
Следовательно, взяв все шары, из которых
сложены 8 первых треугольников, мы могли
бы сложить тетраэдр.

Попробуйте с вишнями
или яблоками одинакового размера, только
не пытайтесь выйти с ними в четвертое
измерение, они могут исчезнуть.  Суммы
чисел, стоящих вдоль не столь круто
падающих диагоналей (на рисунке отмечены
красными линиями) образуют хорошо
известную постоянным читателям
последовательность Фибоначчи. Смотрите,
например, вышеупомянутую статью
«Кролики-каннибалы, четверостишия…

»
или многочисленные материалы на
Арбузе.  Но
в предыдущих публикациях мы не говорили
о том, что числа Фибоначчи часто
встречаются и в комбинаторных задачах.
Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими
способами можно рассадить на них мужчин
и женщин так, чтобы никакие две женщины
не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, … число
способов соответственно равно 2, 3, 5, 8,
…

, то есть совпадает с числами Фибоначчи.
Паскаль, по-видимому, не знал, что числа
Фибоначчи скрыты в его треугольнике.
Это обстоятельство было обнаружено
только в XIX веке. Числа, стоящие на
горизонтальных строках треугольника
Паскаля, — это биномиальные коэффициенты,
то есть коэффициенты разложения (x+y)n по
степеням x и y. Например, (x+y)2=x2+2xy+y2 и
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3.

Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во
второй строке, а 1, 3, 3, 1 — в третьей строке
треугольника. Чтобы найти коэффициенты
разложения (x+y)n,
достаточно взглянуть на n-ую строку
треугольника. Именно это фундаментальное
свойство треугольника Паскаля связывает
его с комбинаторикой и теорией вероятности,
превращая в удобное средство проведения
вычислений.

  Предположим
(пример от Мартина Гарднера), что некий
шейх, следуя законам гостеприимства,
решает отдать вам трех из семи своих
жен. Сколько различных выборов вы можете
сделать среди прекрасных обитательниц
гарема? Для ответа на этот волнующий
вопрос необходимо лишь найти число,
стоящее на пересечении диагонали 3 и
строки 7: оно оказывается равным 35.

Если,
охваченные радостным волнением, вы
перепутаете номера диагонали и строки
и будете искать число, стоящее на
пересечении диагонали 7 со строкой 3, то
обнаружите, что они не пересекаются.

То
есть сам метод не дает вам ошибиться!  В
общем случае, число, показывающее,
сколькими способами можно выбрать n
элементов из множества, содержащего r
различных элементов, стоит на пересечении
n-ной диагонали и r-ой строки. И еще раз,
для тех, кто хоть что-то понял. Число
возможных сочетаний из n элементов по
m определяется формулой 

Где
n!=1*2*3*4*….*n так называемый факториал
числа n. И тех же трех жен из семи можно
выбрать столькими вариантами: C37
=7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35, что мы
раньше и получили. А значения биномиальных
коэффициентов определяются по
формуле 

png» width=»276″>причем,
они же и являются, как мы выяснили,
строками треугольника Паскаля, связывая
непостижимым образом этот треугольник
с комбинаторикой и разложением двучлена
по степеням.

  Связь
между комбинаторикой и теорией
вероятностей станет ясной, если мы
рассмотрим восемь возможных исходов
бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ,
РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три
герба выпадают лишь в одном случае, два
герба — в трех случаях, один герб — также
в трех случаях и ни одного герба — в одном
случае.

Числа благоприятных испытаний
для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3,
3, 1. Именно эти числа стоят в третьей
строке треугольника Паскаля. Предположим
теперь, что мы хотим узнать вероятность
выпадения ровно 5 гербов при одновременном
бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо
подсчитать, сколько существуют различных
способов, позволяющих выбрать 5 монет
из 10.

Ответ мы получим, найдя число,
стоящее на пересечении 5-й диагонали и
10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа,
стоящие в 10-й строке, мы найдем число
возможных исходов, вычисления можно
намного сократить, если воспользоваться
следующим свойством биномиальных
коэффициентов: сумма коэффициентов
бинома (х+у)n,
а именно они и стоят в n-й строке
треугольника Паскаля, равна 2n.

Действительно, сумма чисел, стоящих в
любой строке треугольника, вдвое больше
суммы чисел, стоящей в предыдущей строке,
поскольку при построении каждой строки
числа, стоящие в предыдущей, сносятся
дважды. Сумма чисел первой (самой верхней)
строки равна 1.

Следовательно, суммы
чисел, стоящих в строках треугольника
Паскаля, образуют геометрическую
прогрессию с первым членом, равным 1, и
знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, … . Десятая степень
числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность
выпадения пяти гербов при бросании 10
монет равна 252/1024= 63/256 .

Треугольник
Паскаля позволяет объяснить принцип
действия так называемой доски Гамильтона
— механического устройства служащего
для демонстрации приближенного
гауссовского распределения. Треугольник
Паскаля двумерный, лежит в плоскости.
Непроизвольно появляется мысль — а
нельзя ли его закономерности распространить
на трехмерный (и четырех-…) аналог?
Оказывается можно! В статье О. В.

Кузьмина
(http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html )
рассмотрен трехмерный аналог треугольника
— пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными
коэффициентами и приведены примеры
процессов, которые такая модель может
отражать.  Заменим
каждое число в треугольнике Паскаля
точкой. Причем, нечетные точки выведем
контрастным цветом, а четные — прозрачным,
или цветом фона. Результат окажется
непредсказуемо-удивительным: треугольник
Паскаля разобьется на более мелкие
треугольники, образующие изящный узор.
Узоры эти таят в себе много неожиданностей.
По мере удаления от вершины нам будут
встречаться треугольники все возрастающих
размеров, не содержащие ни одной жирной
точки, то есть «составленные» из
одних лишь четных чисел. У вершины
треугольника Паскаля «притаился»
треугольник состоящий из одной —
единственной точки, затем идут
треугольники, содержащие 6, 28, 120, 496, …
точек. Три из названных чисел — 6, 28 и 496
— известны как совершенные, поскольку
каждая из них равно сумме всех своих
делителей, отличных от самого числа.
Например, 6=1+2+3. Неизвестно, существует
ли бесконечно много совершенных чисел,
а также существует ли хоть одно нечетное
совершенное число.

Список
литературы :

1. http://www.arbuz.uz/u_treug.html

2. «Математические новеллы» Мартин Гарднер

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F

Источник: https://studfile.net/preview/2365508/

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — элегантный математический треугольник, представляющий собой бесконечную таблицу биноминальных коэффициентов. Таблица иллюстрирует скрытые соотношения между числами, которые естественным образом возникают в теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Суть треугольной последовательности

Число 1 — важное число, а 11? Любопытно, что 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Если выстроить эти числа сверху вниз и представить их в виде отдельных цифр, то получится интересная формация:

• 1
• 1 1
• 1 2 1
• 1 3 3 1
• 1 4 6 4 1

Эти цифры — первые строки знаменитого треугольника Паскаля.

Далее таблица строится по следующему принципу: по краям записываются единицы, а внутри ряда числа формируются путем суммы цифр, расположенных рядом выше слева и справа от искомых.

Данная таблица знаменита в математике своей элегантностью, симметрией и неожиданными связями между числами. Связи таблицы с другими математическими сферами превратили треугольник Паскаля в Священный Грааль математики.

История открытия

Считается, что таблица была открыта Блезом Паскалем в 1653 году, однако происхождение формации гораздо древнее.

Первое упоминание о бесконечной треугольной таблице встречается в трудах индийских математиков 10-го века, а наиболее полная информация о треугольнике представлена в работе китайского математика Шицзе, опубликованной в 1303 году.

Однако и Шизце лишь упомянул о формации, создателем же треугольника Паскаля считается китайский ученый Ян Хуэй, поэтому в Китае таблица биноминальных коэффициентов носит название «треугольник Хуэя».

Удивительные свойства

Симметрия — очевидное свойство треугольника Паскаля. Если из верхней единицы провести вертикальную прямую, то числа справа и слева будут симметричны. Диагонали треугольника также симметричны.

Диагонали вообще обладают рядом уникальных свойств.

Если первая диагональ, как восточная, так и западная, представляет собой ряд сплошных единиц, то вторая — ряд натуральных чисел, третья — ряд треугольных чисел, а четвертая — тетраэдрических.

• Треугольные числа (1, 3, 6, 10…) — это числа, при помощи которых строятся плоские треугольники. Простыми словами, если в двухмерной игре вы захотите составить треугольник из круглых элементов, то вам понадобится выстроить элементы в количестве, советующему треугольным числам: сначала 6 кругов, потом 3, потом 1.
• Тетраэдрические числа (1, 4, 10, 20…) используются для построения объемных тетраэдров. Проще говоря, если вам понадобится сложить пушечные ядра аккуратной пирамидой, то в основании вам потребуется уложить 20 ядер, на них еще 10, сверху 4 и увенчать пирамиду одним верхним ядром.

Кроме того, если в треугольнике Паскаля четные числа заменить единицами, а нечетные — нулями, то получится треугольник Серпинского — известный фрактал, построенный польским математиком в начале 20 века.

Треугольник Паскаля также имеет удивительную связь с алгеброй. Если мы разложим бином Ньютона вида (1 + x)2, то получим 1 + 2x + x2. Если же это будет (1 + x)3, то в результате мы получим 1 + 3x + 3×2 + x3. Если присмотреться, то биноминальные коэффициенты — это ни что иное как числа из соответствующего ряда треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица элементов.

При помощи нашего калькулятора вы можете построить таблицу любой размерности, однако не рекомендуется использовать слишком большие числа (n>100), так как столь огромные таблицы не имеют практического применения, а онлайн-калькулятор строит их слишком долго. Помимо элегантных свойств, используемых для решения биноминальных уравнений или построения тетраэдрических последовательностей, таблица Паскаля находит применение в комбинаторике.

Примеры из реальной жизни

Подсчет количества способов

Если на кафедре работают 7 математиков, и троих из них нужно отправить на городскую олимпиаду, то сколькими способами можно это сделать? Это стандартная задача на комбинаторику, в котором важен порядок элементов, то есть вариант «Сидоров, Иванов и Петров» отличается от варианта «Иванов, Петров, Сидоров», хотя выбранная группа математиков одна и та же. Такая ситуация возникает в случае, если преподаватели должны участвовать в разных конкурсах. При «ручном» решении нам пришлось бы использовать стандартные формулы для комбинаторики, однако проще воспользоваться свойствами треугольника Паскаля.

Для ответа на вопрос нам достаточно построить треугольник с n = 10, найти седьмой ряд и третье число в нем. Таким образом, существует 35 способов объединить математиков для поездки на олимпиаду.

Определение вероятности

В корзине лежит 20 шаров, пронумерованных от 1 до 20. Наугад мы берем 3 шара. Какова вероятность, что мы вытащим шары с номерами 5, 12 и 13? Для решения этой задачи нам потребуется построить треугольник Паскаля с n = 20, после чего найти двадцатый ряд и третье число в нем. Вытащить три шара можно 1140 способами. Вероятность наступления нашего события составит 3 из 1140.

Заключение

Треугольник Паскаля — простая таблица, которая таит в себе огромное количество математических тайн. Члены рядов связаны с биноминальными коэффициентами, совершенными числами, числами Фибоначчи, тетраэдрическими и треугольными числами. Используйте наш калькулятор для построения сетки необходимой вам размерности для решения самых разных математических задач.

Источник: https://BBF.ru/calculators/94/

Как эффективно вычислить строку в треугольнике Паскаля?

мне интересно найти n-ю строку треугольника Паскаля (не конкретный элемент, а всю строку). Как это сделать наиболее эффективно?

Я думал об обычном способе построения треугольника, суммируя соответствующие элементы в строке выше, которые будут принимать:

1 + 2 + .. + n = O(n^2)

другим способом может быть использование формулы комбинации определенного элемента:

c(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

algorithm combinations binomial-coefficients pascals-triangle >>> def pascal(n):
… line = [1]
… for k in range(n):
… line.append(line[k] * (n-k) / (k+1))
… return line
…
>>> pascal(9)
[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]

это использует следующий идентификатор:

C(n,k+1) = C(n,k) * (n-k) / (k+1)

так что вы можете начать с C(n,0) = 1 а затем вычислить остальную часть строки, используя это удостоверение, каждый раз умножая предыдущий элемент на (n-k) / (k+1).

одну строку можно рассчитать следующим образом:

First compute 1. -> N choose 0
Then N/1 -> N choose 1
Then N*(N-1)/1*2 -> N choose 2
Then N*(N-1)*(N-2)/1*2*3 -> N choose 3
…..

обратите внимание, что вы можете вычислить следующее значение из предыдущего значения, просто мультипилируя на одно число, а затем деля на другое число.

Это можно сделать в одном цикле. Пример python.

def comb_row(n):
r = 0
num = n
cur = 1
yield cur
while r 1
case _ => pascal(c-1, r-1)+pascal(c, r-1)
}

Я бы назвал это внутри этого:

for (row в строке 6-кнопка сохранить значение

Forloop syntax is
:For(variable, beginning, end [, increment])
:Commands
:End

nCr syntax is
:valueA nCr valueB

индексы списка начинаются с 1, поэтому я установил его в R+1

N= row
R= column

PROGRAM: PASCAL
:ClrHome
:ClrList L1
:Disp «ROW
:Input N
:For(R,0,N,1)
:N nCr R–>L1(R+1)
:End
:Disp L1

Это самый быстрый способ, который я могу придумать, чтобы сделать это в программировании (с ti 84), но если вы хотите, чтобы иметь возможность вычислить строку с помощью пера и бумаги, то просто нарисовать треугольник причина делать факториалы боль!

вот решение o (n) пространственной сложности в Python:

def generate_pascal_nth_row(n):
result=[1]*n
for i in range(n):
previous_res = result.copy()
for j in range(1,i):
result[j] = previous_res[j-1] + previous_res[j]
return result

print(generate_pascal_nth_row(6))

Источник: https://askdev.ru/q/kak-effektivno-vychislit-stroku-v-treugolnike-paskalya-99075/