Мнк в excel как сделать

Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел.

Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях.

Давайте разберемся, как это делается.

• Содержание
• · Использование метода в Экселе
• o Включение надстройки «Поиск решения»
• o Условия задачи
• o Решение
• Использование метода в Экселе

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Включение надстройки «Поиск решения»

Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения», которая по умолчанию отключена.

1. Переходим во вкладку «Файл».

2. Кликаем по наименованию раздела «Параметры».

3. В открывшемся окне останавливаем выбор на подразделе «Надстройки».

4. В блоке «Управление», который расположен в нижней части окна, устанавливаем переключатель в позицию «Надстройки Excel» (если в нём выставлено другое значение) и жмем на кнопку «Перейти…».

5. Открывается небольшое окошко. Ставим в нём галочку около параметра «Поиск решения». Жмем на кнопку «OK».

1. Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.
2. Урок: Поиск решения в Экселе
3. Условия задачи

Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y, последовательность которых представлена на изображении ниже.

Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

y=a+nx

При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0. Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx.

• Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.
• Решение
• Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

1. Слева от первого значения x ставим цифру 1. Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n.

2. Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx. В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x. При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter.

3. Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.

4. В отдельной ячейке высчитываем сумму разностей квадратов значений y и nx. Для этого кликаем по кнопке «Вставить функцию».

5. В открывшемся «Мастере функций» ищем запись «СУММКВРАЗН». Выбираем её и жмем на кнопку «OK».

6. Открывается окно аргументов. В поле «Массив_x» вводим диапазон ячеек столбца y. В поле «Массив_y»вводим диапазон ячеек столбца nx. Для того, чтобы ввести значения, просто устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующий диапазон на листе. После ввода жмем на кнопку «OK».

7. Переходим во вкладку «Данные». На ленте в блоке инструментов «Анализ» жмем на кнопку «Поиск решения».

8. Открывается окно параметров данного инструмента. В поле «Оптимизировать целевую функцию»указываем адрес ячейки с формулой «СУММКВРАЗН». В параметре «До» обязательно выставляем переключатель в позицию «Минимум». В поле «Изменяя ячейки» указываем адрес со значением коэффициента n. Жмем на кнопку «Найти решение».

9. Решение будет отображаться в ячейке коэффициентаn. Именно это значение будет являться наименьшим квадратом функции. Если результат удовлетворяет пользователя, то следует нажать на кнопку «OK» в дополнительном окне.

Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

http://multitest.semico.ru/mnk.htm

Общие положения

Для упрощения изложения рассмотрим сначала случай линейной функции одного аргумента. Пусть из опыта получены точки:

x1, y1,
x2, y2, …	(1)
xn, yn

(см. рисунок). Требуется найти уравнение прямой

наилучшим образом согласующейся с опытными точками.

Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через расстояние опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y).

Из уравнения (2) следует, что

(3)

Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов

(4)

Покажем, как можно подобрать прямую (2) так, чтобы сумма квадратов S была минимальной. Из уравнений (3) и (4) получаем

(5)

Условия минимума S будут

(6)

(7)

Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде:

(8)

(9)

Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям xi и yi. Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется прямая (2), называются нормальными уравнениями.

Можно указать простой и общий способ составления нормальных уравнений. Используя опытные точки (1) и уравнение (2), можно записать систему уравнений для a и b

y1=ax1+b,
y2=ax2+b, …	(10)
yn=axn+b,

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при первой неизвестной a (т.е. на x1, x2, …, xn) и сложим полученные уравнения, в результате получится первое нормальное уравнение (8).

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при второй неизвестной b, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения, в результате получится второе нормальное уравнение (9).

Этот способ получения нормальных уравнений является общим: он пригоден, например, и для функции

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn.

(11)

Естественно, что здесь получится система из n+1 нормального уравнения для определения величин a0, a1, a2, …, an.

1. Рассмотрим частный случай применения метода наименьших квадратов. Пусть из теории известно, что
2. есть величина постоянная и ее нужно определить по опытным данным (1).
3. Систему уравнений для k можно записать:

k=y1/x1,
k=y2/x2, …	(13)
k=yn/xn,

Для получения нормального уравнения умножим каждое из этих уравнений на коэффициент при неизвестной k, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения

(14)

отсюда

(15)

Следовательно, среднее арифметическое, полученное из опытных отношений yi/xi, дает решение поставленной задачи по методу наименьших квадратов. Это важное свойство средней арифметической объясняет ее широкое применение в практике обработки опытных данных.

Пример 1

На опыте получены значения x и y, сведенные в таблицу

x
y	5,2	6,3	7,1	8,5	9,2	10,0

• Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов.
• Решение. Находим:
• xi=21, yi=46,3, xi2=91, xiyi=179,1.
• Записываем уравнения (8) и (9)91a+21b=179,1,
• 21a+6b=46,3, отсюда находим a=0,98 b=4,3.

Источник: https://student2.ru/matematika/549444-primenenie-metoda-naimenshikh-kvadratov-v-excel/

Метод наименьших квадратов в Excel. Регрессионный анализ

Метод кратчайших квадратов (МНК) принадлежит к сфере регрессионного теста. Он обладает большинство внедрений, ведь дает возможность воплотить подведенное спектакль указанной функции альтернативными наиболее легкими.

МНК имеет возможность очутиться весьма невредным при переработке исследований, и его интенсивно введут для анализы 1 величин по итогам измерений альтернативных, вмещающих мимовольные опечатки.

Из этой заметки вы выведываете, как воплотить в жизнь исчисления по методу кратчайших квадратов в Excel.

Постановка проблемы на определенном образце

Предположим, есть 2 показателя X и Y. Вдобавок Y находится в зависимости от X. Ведь МНК интересует нас на взгляд регрессионного оценка (в Excel его методы реализуются за счет вмонтированных функций), тогда следует зараз ведь перейти к обсуждению именной проблемы.

Итак, пускай X — торговая зона продовольственного маркета, меримая в квадратных метрах, а вот Y — годовой товарооборот, ориентируемый в миллионах руб..

Требуется выполнить мониторинг, каковой товарооборот (Y) станет у маркета, в случае если у него какая-нибудь торговая зона. Бесспорно, что функция Y = f (X) возрастающая, ведь гипермаркет реализовывает чаще товаров, нежели ларек.

Несколько текстов о корректности начальных сведений, оборотных для исчезновения

• Допустим, у нас имеется список, возведенная по достоверным сведениям для n маркетов.
• X
• x1
• x2
• …
• xn
• Y
• y1
• y2
• …
• yn

Согласно математической статистике, итоги будут иметься более или менее корректными, в случае если изучаются сведения по впрочем б 5-6 объектам.

А также, невозможно ввести «неестественные» итоги. Например, лучший маленький бутик имеет возможность обладать товарооборот в разы больший, нежели товарооборот наибольших торговых пикселей класса «масмаркет».

Суть метода

Данные таблицы возможно изобразить на декартовой поверхности в качестве пикселей M1 (x1, y1), … Mn (xn, yn). В настоящее время заключение проблемы сведется к подбору аппроксимирующей функции y = f (x), располагающей график, идущий как возможно поближе к точкам M1, M2, ..Mn.

Конечно, применяют многочлен важной степени, однако подобный вариант включая труднореализуем, а также запросто некорректен, ведь не станет отбивать ведущую веянию, какую и должно выявить. Наиболее благоразумным заключением представляет собой исследование буквальной у = ax + b, какая наилучшим образом приближает опытные сведения, a вернее, коэффициентов — a и b.

Оценка точности

При абсолютно любой аппроксимации необычную эпохальность обретает анализа ее точности. Обозначим сквозь ei разницу (отклонение) меж опытными и функциональными значениями для точки xi, т. е. ei = yi — f (xi).

Очевидно, что для анализы точности аппроксимации применяют необходимую сумму отклонений, т. е.

в момент выбора буквальной для приближенного впечатления зависимости X от Y должно уделять основное внимание той, у какой кратчайшее величина необходимой суммы ei во всех без исключения рассматриваемых точках.

Решить вопрос возможно, применяя модули отклонений или же их квадраты. Завершающий способ обрел более широченное распространение. Он в ход идет во множества областях, в том числе регрессионный анализ (в Excel его продажа исполняется за счет 2-х вмонтированных функций), и давным-давно доказал собственную отдача.

Метод кратчайших квадратов

В Excel, как нам известно, есть вмонтированная функция автосуммы, дающая возможность определить уровни всех без исключения уровней, находящихся в удаленном промежутке. Следовательно, ничто не навредит для нас рассчитать величина выражения (e12 + e22 + e32+ … en2).

В математической записи это обладает образец:

Следовательно, дилемма пребывания буквальной, какая наилучшим образом описывает определенную зависимость величин X и Y, сводится к исчислению минимального количества функции 2-х непостоянных:

Чтобы достичь желаемого результата надо приравнять к нулю приватные производные по новым непостоянным a и b, и решить примитивную конструкцию, состоящую из 2-х уравнений с двумя анонимными облика:

После нехитрых преобразований, в том числе деление на два и манипуляции с суммами, получим:

Решая ее, в частности, методом Крамера, покупаем стационарную точку с какими-то коэффициентами a* и b*. Именно это имеется минимальное количество, т. е.

для исчезновения, каковой товарооборот станет у маркета при конкретной площади, подойдет прямая y = a*x + b*, являющая собой регрессионную модель для образца, о каком проходит речь.

Еще бы, она не даст возможность обнаружить верный исход, однако может помочь заполучить спектакль про то, окупится ли покупка в долг маркета именной площади.

Как реализоавать способ кратчайших квадратов в Excel

В «Эксель» есть функция для вычисления уровни по МНК. Она обладает ближайший образец: «ТЕНДЕНЦИЯ» (известн. уровни Y; известн. уровни X; ранее не известные уровни X; конст.). Используем формулу вычисления МНК в Excel к нашей таблице.

Чтобы достичь желаемого результата в ячейку, в какой обязан быть отражен исход вычисления по методу кратчайших квадратов в Excel, используем символ «=» и выкарабкаем функцию «ТЕНДЕНЦИЯ». В открывшемся окошке наполним надлежащие поля, выделяя:

• диапазон ведомых уровней для Y ( в этом примере сведения для товарооборота);
• диапазон x1, …xn, т. е. величины торговых площадей;
• и ведомые, и анонимные уровни x, для какого должно проверить величину товарооборота (сообщение про их месторасположении на действующем листе см. затем).

А также, в формуле имеется закономерная непостоянная «Конст». В случае если использовать в надлежащее для нее поле один, то это будет значить, что вытекает воплотить исчисления, думая, что b = 0.

Если должно выведать мониторинг для наиболее нежели 1-го уровни x, то опосля ввода формулы вытекает нажать не на «Ввод», а вот должно набрать на клавиатуре (клаве) комбинацию «Shift» + «Control»+ «Enter» («Ввод»).

Некоторые качества

Регрессионный анализ быть может общедоступен в том числе чайникам. Формула Excel для исчезновения уровни массива анонимных непостоянных — «ТЕНДЕНЦИЯ» — имеет возможность использоваться в том числе теми, кто вовек не слышал о методе кратчайших квадратов. Необходимо запросто быть в курсе какие-либо качества ее деятельности. Например:

• Если предрасположить диапазон ведомых уровней непостоянной y в некой строчке или же столбце, то всякая строчка (столбец) с ведомыми значениями x станет приниматься программкой в виде единичной непостоянной.
• Если в окошке «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с ведомыми x, то в любом случае применения функции в Excel программка станет оценивать его как массив, состоящий из круглых количеств, численность каких отвечает промежутку с указанными значениями непостоянной y.
• Чтобы заполучить на выходе массив «предсказанных» уровней, выражение для исчисления направленности должно вводить как формулу массива.
• Если не велены ранее не известные уровни x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» полагает их равным ведомым. В случае если и они не миссы, то в виде аргумента приступает массив один; два; трем; четвертая;…, какой соразмерен промежутку с уже указанными параметрами y.
• Диапазон, вмещающий ранее не известные уровни x вынужден состоять из настолько же или же большего числа строчек или же столбцов, как диапазон с указанными значениями y. Иначе говоря он обязан быть соразмерным автономным непостоянным.
• В массиве с ведомыми значениями x имеет возможность находиться некоторого количества непостоянных. Ведь в случае если речь проходит лишь только об одной, то надо, дабы промежутки с указанными значениями x и y имелись соразмерны. В любом случае немногих непостоянных должно, дабы диапазон с указанными значениями y вмещался в некоем столбце или же в некой строчке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Регрессионный анализ в Excel реализуется за счет немногих функций. 1 из них именуется «ПРЕДСКАЗ». Она подобна «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. предоставляет исход исчислений по методу кратчайших квадратов. Ведь всего для 1-го X, для какого анонимно величина Y.

Теперь вы понимаете формулы в Excel для чайников, дающие возможность спрогнозировать значение грядущего уровни какого-нибудь показателя в соответствии линейному тренду.

Источник: https://xroom.su/metod-naimenshih-kvadratov-v-excel-regressionnyi-analiz/

Метод наименьших квадратов в Excel. Регрессионный анализ

Компьютеры 16 сентября 2017

Метод наименьших квадратов (МНК) относится к сфере регрессионного анализа. Он имеет множество применений, так как позволяет осуществлять приближенное представление заданной функции другими более простыми.

МНК может оказаться чрезвычайно полезным при обработке наблюдений, и его активно используют для оценки одних величин по результатам измерений других, содержащих случайные ошибки.

Из этой статьи вы узнаете, как реализовать вычисления по методу наименьших квадратов в Excel.

Постановка задачи на конкретном примере

Предположим, имеются два показателя X и Y. Причем Y зависит от X. Так как МНК интересует нас с точки зрения регрессионного анализа (в Excel его методы реализуются с помощью встроенных функций), то стоит сразу же перейти к рассмотрению конкретной задачи.

Итак, пусть X — торговая площадь продовольственного магазина, измеряемая в квадратных метрах, а Y — годовой товарооборот, определяемый в миллионах рублей.

Требуется сделать прогноз, какой товарооборот (Y) будет у магазина, если у него та или иная торговая площадь. Очевидно, что функция Y = f (X) возрастающая, так как гипермаркет продает больше товаров, чем ларек.

Несколько слов о корректности исходных данных, используемых для предсказания

Допустим, у нас есть таблица, построенная по данным для n магазинов.

Согласно математической статистике, результаты будут более-менее корректными, если исследуются данные по хотя бы 5-6 объектам. Кроме того, нельзя использовать «аномальные» результаты. В частности, элитный небольшой бутик может иметь товарооборот в разы больший, чем товарооборот больших торговых точек класса «масмаркет».

Суть метода

Данные таблицы можно изобразить на декартовой плоскости в виде точек M1 (x1, y1), … Mn (xn, yn). Теперь решение задачи сведется к подбору аппроксимирующей функции y = f (x), имеющей график, проходящий как можно ближе к точкам M1, M2, ..Mn.

Конечно, можно использовать многочлен высокой степени, но такой вариант не только труднореализуем, но и просто некорректен, так как не будет отражать основную тенденцию, которую и нужно обнаружить. Самым разумным решением является поиск прямой у = ax + b, которая лучше всего приближает экспериментальные данные, a точнее, коэффициентов — a и b.

Оценка точности

При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через ei разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки xi, т. е. ei = yi — f (xi).

Очевидно, что для оценки точности аппроксимации можно использовать сумму отклонений, т. е. при выборе прямой для приближенного представления зависимости X от Y нужно отдавать предпочтение той, у которой наименьшее значение суммы ei во всех рассматриваемых точках. Однако, не все так просто, так как наряду с положительными отклонениями практически будут присутствовать и отрицательные.

Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.

Метод наименьших квадратов

В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e12 + e22 + e32+ … en2).

В математической записи это имеет вид:

Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:

Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:

После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:

Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a* и b*. Это и есть минимум, т. е.

для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a*x + b*, представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь.

Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.

Как реализоавать метод наименьших квадратов в Excel

В «Эксель» имеется функция для расчета значения по МНК. Она имеет следующий вид: «ТЕНДЕНЦИЯ» (известн. значения Y; известн. значения X; новые значения X; конст.). Применим формулу расчета МНК в Excel к нашей таблице.

Для этого в ячейку, в которой должен быть отображен результат расчета по методу наименьших квадратов в Excel, введем знак «=» и выберем функцию «ТЕНДЕНЦИЯ». В раскрывшемся окне заполним соответствующие поля, выделяя:

• диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
• диапазон x1, …xn, т. е. величины торговых площадей;
• и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).

Кроме того, в формуле присутствует логическая переменная «Конст». Если ввести в соответствующее ей поле 1, то это будет означать, что следует осуществить вычисления, считая, что b = 0.

Если нужно узнать прогноз для более чем одного значения x, то после ввода формулы следует нажать не на «Ввод», а нужно набрать на клавиатуре комбинацию «Shift» + «Control»+ «Enter» («Ввод»).

Некоторые особенности

Регрессионный анализ может быть доступен даже чайникам. Формула Excel для предсказания значения массива неизвестных переменных — «ТЕНДЕНЦИЯ» — может использоваться даже теми, кто никогда не слышал о методе наименьших квадратов. Достаточно просто знать некоторые особенности ее работы. В частности:

• Если расположить диапазон известных значений переменной y в одной строке или столбце, то каждая строка (столбец) с известными значениями x будет восприниматься программой в качестве отдельной переменной.
• Если в окне «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с известными x, то в случае использования функции в Excel программа будет рассматривать его как массив, состоящий из целых чисел, количество которых соответствует диапазону с заданными значениями переменной y.
• Чтобы получить на выходе массив «предсказанных» значений, выражение для вычисления тенденции нужно вводить как формулу массива.
• Если не указаны новые значения x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» считает их равным известным. Если и они не заданы, то в качестве аргумента берется массив 1; 2; 3; 4;…, который соразмерен диапазону с уже заданными параметрами y.
• Диапазон, содержащий новые значения x должен состоять из такого же или большего количества строк или столбцов, как диапазон с заданными значениями y. Иными словами он должен быть соразмерным независимым переменным.
• В массиве с известными значениями x может содержаться несколько переменных. Однако если речь идет лишь об одной, то требуется, чтобы диапазоны с заданными значениями x и y были соразмерны. В случае нескольких переменных нужно, чтобы диапазон с заданными значениями y вмещался в одном столбце или в одной строке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Регрессионный анализ в Excel реализуется с помощью нескольких функций. Одна из них называется «ПРЕДСКАЗ». Она аналогична «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. выдает результат вычислений по методу наименьших квадратов. Однако только для одного X, для которого неизвестно значение Y.

Теперь вы знаете формулы в Excel для чайников, позволяющие спрогнозировать величину будущего значения того или иного показателя согласно линейному тренду.

Источник: fb.ru

Источник: https://monateka.com/article/248289/

одной формулой или "матричный" МНК в Excel

Pers.narod.ru. Обучение. МНК — одной формулой или «матричный» МНК в Excel

Хорошо известный и широко применяемый метод наименьших квадратов описан, например, здесь.

Другое дело, что строить в табличном редакторе систему нормальных уравнений «в лоб», непосредственно формируя её матрицу, элементы которой содержат кучу сумм и степеней — не очень удобно.

Да и громоздкий получается расчёт, как на этом скрине (большую часть столбцов пришлось заузить, иначе просто не помещается):

Через матрицы — компактней и проще, расчёт коэффициентов МНК в Excel можно, фактически, свести к одной формуле, как показано на скрине ниже:

• Конечно, сначала всё равно нужно построить первые M столбцов матрицы Вандермонда для МНК порядка M (M≤N, N — количество пар значений {xi,yi}) — но они строятся простым умножением двух ячеек.
• Всё остальное на скрине нужно для проверки и иллюстрации.
• Разумеется, вычислительные затраты на транспонирование и умножение матриц могут и превысить затраты на накопление сумм, особенно если организовать последнее грамотно (использовать то, что в элементах матрицы много дублей) — но не думаю, что для небольших размерностей данных это имеет значение при расчёте в Excel, с его встроенными методами ТРАНСП, МОБР и МУМНОЖ.
•  Исходный файл примера в Excel XP/2003 (18 Кб)
• «Матричный» алгоритм построения МНК порядка m (1≤m≤n) можно описать так: сформировать матрицу размерностью (n+1)*(n+1) с элементами вида

выделить в матрицу A и транспонировать m+1 её первых столбцов (получается матрица AT размерностью (m+1)*n); вычислить AT*A (получается матрица Z размерностью (m+1)*(m+1)); вычислить вектор b= ATf (размерность m+1); решить систему уравнений Zc=b, т.е., найти c=Z-1b; использовать найденный вектор c и значения x для вычисления значений полинома МНК по формуле

 Ещё один пример — компактный подсчёт МНК 1 и 2 порядка по 4 точкам в Excel XP/2003 (20 Кб)

В документе, прикреплённом ниже, по одним и тем же данным выполняется расчёт МНК 1 и 2 порядка с помощью подсчёта сумм (лист 1) и с помощью матриц (лист 2).

 МНК 1 и 2 порядка по 8 точкам в Excel XP/2003 (45 Кб)

гостевая; E-mail

Источник: http://pers.narod.ru/study/excel_matrix_mnk.html

Математика на пальцах: методы наименьших квадратов

Я математик-программист. Самый большой скачок в своей карьере я совершил, когда научился говорить:«Я ничего не понимаю!» Сейчас мне не стыдно сказать светилу науки, что мне читает лекцию, что я не понимаю, о чём оно, светило, мне говорит. И это очень сложно. Да, признаться в своём неведении сложно и стыдно. Кому понравится признаваться в том, что он не знает азов чего-то-там. В силу своей профессии я должен присутствовать на большом количестве презентаций и лекций, где, признаюсь, в подавляющем большинстве случаев мне хочется спать, потому что я ничего не понимаю. А не понимаю я потому, что огромная проблема текущей ситуации в науке кроется в математике. Она предполагает, что все слушатели знакомы с абсолютно всеми областями математики (что абсурдно). Признаться в том, что вы не знаете, что такое производная (о том, что это — чуть позже) — стыдно.

Но я научился говорить, что я не знаю, что такое умножение. Да, я не знаю, что такое подалгебра над алгеброй Ли. Да, я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения. К слову, если вы уверены, что вы знаете, то нам есть над чем поговорить! Математика — это серия фокусов. Математики стараются запутать и запугать публику; там, где нет замешательства, нет репутации, нет авторитета. Да, это престижно говорить как можно более абстрактным языком, что есть по себе полная чушь. Знаете ли вы, что такое производная? Вероятнее всего вы мне скажете про предел разностного отношения. На первом курсе матмеха СПбГУ Виктор Петрович Хавин мне определил производную как коэффициент первого члена ряда Тейлора функции в точке (это была отдельная гимнастика, чтобы определить ряд Тейлора без производных). Я долго смеялся над таким определением, покуда в итоге не понял, о чём оно. Производная не что иное, как просто мера того, насколько функция, которую мы дифференцируем, похожа на функцию y=x, y=x^2, y=x^3.

Я сейчас имею честь читать лекции студентам, которые боятся математики. Если вы боитесь математики — нам с вами по пути. Как только вы пытаетесь прочитать какой-то текст, и вам кажется, что он чрезмерно сложен, то знайте, что он хреново написан. Я утверждаю, что нет ни одной области математики, о которой нельзя говорить «на пальцах», не теряя при этом точности.

Задача на ближайшее время: я поручил своим студентам понять, что такое линейно-квадратичный регулятор. Не постесняйтесь, потратьте три минуты своей жизни, сходите по ссылке.

Если вы ничего не поняли, то нам с вами по пути. Я (профессиональный математик-программист) тоже ничего не понял. И я уверяю, в этом можно разобраться «на пальцах».

На данный момент я не знаю, что это такое, но я уверяю, что мы сумеем разобраться.

Итак, первая лекция, которую я собираюсь прочитать своим студентам после того, как они в ужасе прибегут ко мне со словами, что линейно-квадратичный регулятор — это страшная бяка, которую никогда в жизни не осилить, это методы наименьших квадратов. Умеете ли вы решать линейные уравнения? Если вы читаете этот текст, то скорее всего нет.

Итак, даны две точки (x0, y0), (x1, y1), например, (1,1) и (3,2), задача найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки: иллюстрация Эта прямая должна иметь уравнение типа следующего: Здесь альфа и бета нам неизвестны, но известны две точки этой прямой: Можно записать это уравнение в матричном виде:

Тут следует сделать лирическое отступление: что такое матрица? Матрица это не что иное, как двумерный массив. Это способ хранения данных, более никаких значений ему придавать не стоит.

Это зависит от нас, как именно интерпретировать некую матрицу. Периодически я буду её интерпретировать как линейное отображение, периодически как квадратичную форму, а ещё иногда просто как набор векторов.

Это всё будет уточнено в контексте.

Давайте заменим конкретные матрицы на их символьное представление: Тогда (alpha, beta) может быть легко найдено: Более конкретно для наших предыдущих данных: Что ведёт к следующему уравнению прямой, проходящей через точки (1,1) и (3,2):

• Окей, тут всё понятно. А давайте найдём уравнение прямой, проходящей через три точки: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2):
• И дальше постарается найти решение, которое меньше всего отклонится от заданных равенств. Давайте назовём вектор (x0,x1,x2) вектором i, (1,1,1) вектором j, а (y0,y1,y2) вектором b:

Ой-ой-ой, а ведь у нас три уравнения на две неизвестных! Стандартный математик скажет, что решения не существует. А что скажет программист? А он для начала перепишет предыдующую систему уравнений в следующем виде:

В нашем случае векторы i,j,b трёхмерны, следовательно, (в общем случае) решения этой системы не существует. Любой вектор (alpha*i + beta*j) лежит в плоскости, натянутой на векторы (i, j).

Если b не принадлежит этой плоскости, то решения не существует (равенства в уравнении не достичь). Что делать? Давайте искать компромисс.

Давайте обозначим через e(alpha, beta) насколько именно мы не достигли равенства:

И будем стараться минимизировать эту ошибку: Почему квадрат?Мы ищем не просто минимум нормы, а минимум квадрата нормы. Почему? Сама точка минимума совпадает, а квадрат даёт гладкую функцию (квадратичную функцию от агрументов (alpha,beta)), в то время как просто длина даёт функцию в виде конуса, недифференцируемую в точке минимума. Брр. Квадрат удобнее.

Очевидно, что ошибка минимизируется, когда вектор e ортогонален плоскости, натянутой на векторы i и j.

Иллюстрация Иными словами: мы ищем такую прямую, что сумма квадратов длин расстояний от всех точек до этой прямой минимальна:

UPDATE: тут у меня косяк, расстояние до прямой должно измеряться по вертикали, а не ортогональной проекцией. Вот этот комментатор прав.

Иллюстрация Совсеми иными словами (осторожно, плохо формализовано, но на пальцах должно быть ясно): мы берём все возможные прямые между всеми парами точек и ищем среднюю прямую между всеми: Иллюстрация Иное объяснение на пальцах: мы прикрепляем пружинку между всеми точками данных (тут у нас три) и прямой, что мы ищем, и прямая равновесного состояния есть именно то, что мы ищем.

Минимум квадратичной формы

Итак, имея данный вектор b и плоскость, натянутую на столбцы-векторы матрицы A (в данном случае (x0,x1,x2) и (1,1,1)), мы ищем вектор e с минимум квадрата длины.

Очевидно, что минимум достижим только для вектора e, ортогонального плоскости, натянутой на столбцы-векторы матрицы A:

Иначе говоря, мы ищем такой вектор x=(alpha, beta), что: Напоминаю, что этот вектор x=(alpha, beta) является минимумом квадратичной функции ||e(alpha, beta)||^2: Тут нелишним будет вспомнить, что матрицу можно интерпретирвать в том числе как и квадратичную форму, например, единичная матрица ((1,0),(0,1)) может быть интерпретирована как функция x^2 + y^2: квадратичная форма

Вся эта гимнастика известна под именем линейной регрессии.

Уравнение Лапласа с граничным условием Дирихле

Теперь простейшая реальная задача: имеется некая триангулированная поверхность, необходимо её сгладить. Например, давайте загрузим модель моего лица:

Изначальный коммит доступен здесь.

Для минимизации внешних зависимостей я взял код своего софтверного рендерера, уже подробно описанного на хабре. Для решения линейной системы я пользуюсь OpenNL, это отличный солвер, который, правда, очень сложно установить: нужно скопировать два файла (.h+.

c) в папку с вашим проектом. Всё сглаживание делается следующим кодом:

for (int d=0; d

Источник: https://habr.com/post/277275/

МНК: Метод Наименьших Квадратов в MS EXCEL

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции y=ax+b.

Метод наименьших квадратов (англ. OrdinaryLeastSquares, OLS) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:

Примечание: Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.

Линейная зависимость

Нас интересует связь 2-х переменных х и y. Имеется предположение, что y зависит от х по линейному закону y=ax+b. Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения хi произведено измерение yi (см. файл примера). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (хi; yi).

• Для наглядности рекомендуется построить диаграмму рассеяния.
•  
• Примечание: Если шаг изменения по х постоянен, то для построения диаграммы рассеяния можно использовать тип График, если нет, то необходимо использовать тип диаграммы Точечная.

Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.

1. В качестве такого критерия используем выражение:
3. где ŷi=a*xi+b; n – число пар значений (в нашем случае n=20)
4. Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями yi и ŷi и часто обозначается как SSE (SumofSquaredErrors (Residuals), сумма квадратов ошибок (остатков)).
5. Метод наименьших квадратов заключается в подборе такой линии ŷ=ax+b, для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.
6. Примечание: Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров: a (наклон) и b(сдвиг).

Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х.

Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию.

Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции a и b, для которых вышеуказанное выражение минимально.

• Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см. статью про квадратичную зависимость), можно вычислить параметры a и b:
• Как видно из формулы, параметр a представляет собой отношение ковариации и дисперсии, поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра а можно использовать следующие формулы (см. файл примера лист Линейная):
• =КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45) или

=КОВАРИАЦИЯ.В(B26:B45;C26:C45)/ДИСП.В(B26:B45)

Также для вычисления параметра а можно использовать формулу =НАКЛОН(C26:C45;B26:B45). Для параметра b используйте формулу =ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45).

И наконец, функция ЛИНЕЙН() позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать CTRL+SHIFT+ENTER(см. статью про формулы массива, возвращающими несколько значений). В левой ячейке будет возвращено значение а, в правой – b.

Примечание: Чтобы не связываться с вводом формул массива потребуется дополнительно использовать функцию ИНДЕКС().

Формула =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1) или просто =ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е. а.

Вычислив параметры, на диаграмме рассеяния можно построить соответствующую линию.

 

Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы Линия тренда. Для этого выделите диаграмму, в меню выберите вкладку Макет, в группе Анализ нажмите Линия тренда, затем Линейное приближение.

2.  
3. Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.

Примечание: Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был Точечная, а не График. Дело в том, что при построении диаграммы График значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек).

Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий).

Поэтому, если строить линию тренда на диаграмме типа График, то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).

СОВЕТ: Подробнее о построении диаграмм см. статьи Основы построения диаграмм и Основные типы диаграмм.

Источник: https://excel2.ru/articles/mnk-metod-naimenshih-kvadratov-v-ms-excel

Метод наименьших квадратов

Начнем статью сразу с примера. У нас есть некие экспериментальные данные о значениях двух переменных – x и y. Занесем их в таблицу.

i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
xi		1	2	4	5
yi	2,1	2,4	2,6	2,8	3,0

После выравнивания получим функцию следующего вида: g(x)=x+13+1.

Мы можем аппроксимировать эти данные с помощью линейной зависимости y=ax+b, вычислив соответствующие параметры. Для этого нам нужно будет применить так называемый метод наименьших квадратов. Также потребуется сделать чертеж, чтобы проверить, какая линия будет лучше выравнивать экспериментальные данные.

В чем именно заключается мнк (метод наименьших квадратов)

Главное, что нам нужно сделать, – это найти такие коэффициенты линейной зависимости, при которых значение функции двух переменных F(a, b)=∑i=1n(yi-(axi+b))2 будет наименьшим.

Иначе говоря, при определенных значениях a и b сумма квадратов отклонений представленных данных от получившейся прямой будет иметь минимальное значение. В этом и состоит смысл метода наименьших квадратов.

Все, что нам надо сделать для решения примера – это найти экстремум функции двух переменных.

Как вывести формулы для вычисления коэффициентов

Для того чтобы вывести формулы для вычисления коэффициентов, нужно составить и решить систему уравнений с двумя переменными. Для этого мы вычисляем частные производные выражения F(a, b)=∑i=1n(yi-(axi+b))2 по a и b и приравниваем их к 0.

δF(a, b)δa=0δF(a, b)δb=0⇔-2∑i=1n(yi-(axi+b))xi=0-2∑i=1n(yi-(axi+b))=0⇔a∑i=1nxi2+b∑i=1nxi=∑i=1nxiyia∑i=1nxi+∑i=1nb=∑i=1nyi⇔a∑i=1nxi2+b∑i=1nxi=∑i=1nxiyia∑i=1nxi+nb=∑i=1nyi

Для решения системы уравнений можно использовать любые методы, например, подстановку или метод Крамера. В результате у нас должны получиться формулы, с помощью которых вычисляются коэффициенты по методу наименьших квадратов.

n∑i=1nxiyi-∑i=1nxi∑i=1nyin∑i=1n-∑i=1nxi2b=∑i=1nyi-a∑i=1nxin

Мы вычислили значения переменных, при который функция
F(a, b)=∑i=1n(yi-(axi+b))2 примет минимальное значение. В третьем пункте мы докажем, почему оно является именно таким.

Это и есть применение метода наименьших квадратов на практике. Его формула, которая применяется для поиска параметра a, включает в себя ∑i=1nxi, ∑i=1nyi, ∑i=1nxiyi, ∑i=1nxi2, а также параметр
n – им обозначено количество экспериментальных данных. Советуем вам вычислять каждую сумму отдельно. Значение коэффициента b вычисляется сразу после a.

Обратимся вновь к исходному примеру.

Пример 1

Здесь у нас n равен пяти. Чтобы было удобнее вычислять нужные суммы, входящие в формулы коэффициентов, заполним таблицу.

i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	∑i=15
xi		1	2	4	5	12
yi	2,1	2,4	2,6	2,8	3	12,9
xiyi		2,4	5,2	11,2	15	33,8
xi2		1	4	16	25	46

Решение

Четвертая строка включает в себя данные, полученные при умножении значений из второй строки на значения третьей для каждого отдельного i. Пятая строка содержит данные из второй, возведенные в квадрат. В последнем столбце приводятся суммы значений отдельных строчек.

Воспользуемся методом наименьших квадратов, чтобы вычислить нужные нам коэффициенты a и b. Для этого подставим нужные значения из последнего столбца и подсчитаем суммы:

У нас получилось, что нужная аппроксимирующая прямая будет выглядеть как y=0,165x+2,184. Теперь нам надо определить, какая линия будет лучше аппроксимировать данные – g(x)=x+13+1 или 0,165x+2,184. Произведем оценку с помощью метода наименьших квадратов.

• Чтобы вычислить погрешность, нам надо найти суммы квадратов отклонений данных от прямых σ1=∑i=1n(yi-(axi+bi))2 и σ2=∑i=1n(yi-g(xi))2, минимальное значение будет соответствовать более подходящей линии.
• σ1=∑i=1n(yi-(axi+bi))2==∑i=15(yi-(0,165xi+2,184))2≈0,019σ2=∑i=1n(yi-g(xi))2==∑i=15(yi-(xi+13+1))2≈0,096
• Ответ: поскольку σ10. Поскольку точки xi не совпадают, то неравенство является строгим. Будем иметь это в виду при дальнейших расчетах.
  • Вычисляем угловой минор второго порядка:
  • det(M)=2∑i=1n(xi)22∑i=1nxi2∑i=1nxi2n=4n∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2
  • После этого переходим к доказательству неравенства n∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2>0 с помощью математической индукции.
  1. Проверим, будет ли данное неравенство справедливым при произвольном n. Возьмем 2 и подсчитаем:

  2∑i=12(xi)2-∑i=12xi2=2×12+x22-x1+x22==x12-2x1x2+x22=x1+x22>0

  У нас получилось верное равенство (если значения x1 и x2 не будут совпадать).

  1. Сделаем предположение, что данное неравенство будет верным для n, т.е. n∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2>0 – справедливо.
  2. Теперь докажем справедливость при n+1, т.е. что (n+1)∑i=1n+1(xi)2-∑i=1n+1xi2>0, если верно n∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2>0.

  Вычисляем:

  (n+1)∑i=1n+1(xi)2-∑i=1n+1xi2==(n+1)∑i=1n(xi)2+xn+12-∑i=1nxi+xn+12==n∑i=1n(xi)2+n·xn+12+∑i=1n(xi)2+xn+12—∑i=1nxi2+2xn+1∑i=1nxi+xn+12==∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2+n·xn+12-xn+1∑i=1nxi+∑i=1n(xi)2==∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2+xn+12-2xn+1×1+x12++xn+12-2xn+1×2+x22+…+xn+12-2xn+1×1+xn2==n∑i=1n(xi)2-∑i=1nxi2++(xn+1-x1)2+(xn+1-x2)2+…+(xn-1-xn)2>0

  Выражение, заключенное в фигурные скобки, будет больше 0 (исходя из того, что мы предполагали в пункте 2), и остальные слагаемые будут больше 0, поскольку все они являются квадратами чисел. Мы доказали неравенство.

  Ответ: найденные a и b будут соответствовать наименьшему значению функции F(a, b)=∑i=1n(yi-(axi+b))2, значит, они являются искомыми параметрами метода наименьших квадратов (МНК).

  Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

  Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/stati/metod-naimenshih-kvadratov/